Interessensgebiete
Ich interessiere mich allgemein für die Untersuchung symmetrischer Objekte und das Zusammenspiel von gruppentheoretischen und geometrischen Methoden.

• Gruppen: Gruppen vom Lie-Typ, klassische Gruppen, Chevalley-Gruppen und getwistete Varianten, einfache algebraische Gruppen, Permutationsgruppen
  
• Geometrien: Tits-Gebäude, projektive und polare Räume, Moufang-Polygone, verallgemeinerte Polygone
  
• Lie-Algebren: Lie-Algebren zu Chevalley-Gruppen, extremale Elemente in Lie-Algebren
  
• Computer-Algebra: symbolisches Rechnen in Chevalley-Gruppen über beliebigen Körpern, Permutationsgruppen
  

Forschung
Mein Arbeitsgebiet ist die Algebra, vor allem Gruppentheorie und Geometrie. Die Schwerpunkte meiner Forschung liegen im Bereich der Gruppen vom Lie-Typ über beliebigen Körpern und der zugehörigen Gebäude. Hier untersuche ich insbesondere Untergruppen vom Lie-Typ in Gruppen vom Lie-Typ und Einbettungen von Punkt-Geraden-Geometrien in projektive Räume.

Projekte

• Von Transvektionen erzeugte Untergruppen von GL(V)
  
• Untergruppen von orthogonalen Gruppen
  
• Untergruppen vom Lie-Typ in Chevalley-Gruppen vom Ausnahmetyp
  
• Getwistete Varianten von Chevalley-Gruppen
  
• Einbettungen von polaren Räumen und verallgemeinerten Vierecken in projektive Räume
  
• Einbettungen von verallgemeinerten Sechsecken in projektive Räume
  
• Near hexagons und Trialität
  
• Extremale Elemente in Lie-Algebren
  
• Computergestützte Realisierung von Gruppen mit einem Tits-Diagramm
  

Gruppen vom Lie-Typ
Jede Gruppe vom Lie-Typ respektiert eine geometrische oder kombinatorische Struktur, welche einen hohen Grad an Symmetrie aufweist. Fast alle endlichen einfachen Gruppen sind Chevalley-Gruppen oder getwistete Chevalley-Gruppen (Steinberg-Variationen) und gehören damit zu einer der 16 Serien von Gruppen vom Lie-Typ über einem endlichen Körper.
Eine Gruppe vom Lie-Typ ist stets von ausgezeichneten Elementen, den sogenannten langen Wurzelelementen, erzeugt. Das Standardbeispiel sind die speziellen linearen Gruppen SL(V), erzeugt von den Transvektionen.
Gruppen vom Lie-Typ sollen hier in großer Allgemeinheit verstanden werden, nämlich als diejenigen Automorphismengruppen eines sphärischen Moufang-Gebäudes im Sinne von J. Tits, die von den langen Wurzelelementen erzeugt werden. Für das Standardbeispiel SL(V) ist das betrachtete Gebäude gerade der zu V gehörige projektive Raum.
Die Gruppen vom Lie-Typ über einem beliebigen Körper umfassen nach obiger Definition - über die Chevalley-Gruppen und die Steinberg-Variationen hinaus - die einfachen algebraischen Gruppen von relativem Rang mindestens 2 sowie klassische Gruppen vom Witt-Index mindestens 2 über Schiefkörpern.
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Untergruppen vom Lie-Typ in Gruppen vom Lie-Typ
Untergruppen von Gruppen vom Lie-Typ (in der Allgemeinheit wie oben dargestellt), die selbst lange Wurzelelemente enthalten, sind von besonderem Interesse. Ich beschäftige mich mit der Frage, ob (und auf welche Weise) eine Lie-Typ-Gruppe als Untergruppe einer gegebenen Gruppe vom Lie-Typ auftreten kann, so daß lange Wurzelelemente wieder lange Wurzelelemente sind.
Hierzu sind Resultate hauptsächlich nur für endliche und algebraisch abgeschlossene Körper oder für von vollen langen Wurzeluntergruppen erzeugte Untergruppen bekannt (insbesondere von Kantor, Cooperstein, Liebeck & Seitz und McLaughlin).
Mein Ziel ist es, die genannte Fragestellung für die Gruppen vom Lie-Typ über beliebigen Körpern zu lösen, sowohl für die klassischen Gruppen als auch für die Gruppen vom Ausnahmetyp. In beiden Fällen strebe ich einen einheitlichen Zugang an, unabhängig vom zugrunde liegenden Körper.
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Einbettungen von Punkt-Geraden-Geometrien in projektive Räume
Der Fundamentalsatz der projektiven Geometrie besagt, daß alle typerhaltenden Automorphismen eines klassischen projektiven Raums von einer semi-linearen Abbildung induziert werden. Dieses klassische Ergebnis kann auf Einbettungen von Inzidenz-Geometrien, wie polare Räume und verallgemeinerte Polygone, ausgedehnt werden.
Bei den betrachteten Einbettungen werden die Punkte der Geometrie als Punkte eines projektiven Raumes aufgefaßt, die Geraden jedoch nur als Teilmengen von Geraden. Die projektiven Räume müssen nicht endlich dimensional sein und ihnen kann ein echter Schiefkörper zugrunde liegen.
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Projekte

Von Transvektionen erzeugte Untergruppen von GL(V)
Die meisten klassischen Gruppen zu (schief-)hermiteschen oder (pseudo-)quadratischen Formen enthalten sogenannte isotrope Transvektionen. Die isotropen Transvektionsuntergruppen, also die Untergruppen, die von allen isotropen Transvektionen zu einer festen Hyperebene erzeugt werden, bilden eine Klasse von abstrakten Transvektionsgruppen in Sinne von Timmesfeld. Zusammen mit Hans Cuypers (hansc@win.tue.nl) habe ich die klassischen Gruppen mit isotropen Transvektionen als diejenigen linearen Gruppen charakterisiert, die von einer Klasse von abstrakten Transvektionsgruppen erzeugt werden, so daß die abstrakten Transvektionen als Transvektionen operieren. Weiter konnten wir auch die speziellen linearen Gruppen charakterisieren.
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Untergruppen von orthogonalen Gruppen
In orthogonalen Gruppen entsprechen die langen Wurzeluntergruppen den singulären Geraden. Die langen Wurzelelemente werden auch Siegel-Transformationen genannt. Für endlich dimensionale orthogonale Gruppen habe ich diejenigen Untergruppen vom Lie-Typ, die von Stücken von langen Wurzeluntergruppen erzeugt werden, in meiner Dissertation untersucht, unter gewissen Einschränkungen in Charakteristik 2.
Zur Zeit bearbeite ich mit Hans Cuypers (hansc@win.tue.nl) folgende allgemeinere Fragestellung. Wir bestimmen die quasi-einfachen Untergruppen von linearen Gruppen GL(V), die von einer nicht ausgearteten Klasse von sogenannten abstrakten Wurzelgruppen erzeugt werden, so daß die Elemente in A wie Siegel-Transformationen in orthogonalen Gruppen operieren.
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Untergruppen vom Lie-Typ in Chevalley-Gruppen vom Ausnahmetyp
Dieses Einbettungsproblem ist über einem beliebigen Körper noch weitgehend offen. Die Ergebnisse in der Literatur verwenden, daß der zugrunde liegende Körper endlich oder algebraisch abgeschlossen ist. Jedoch schon über den reellen Zahlen treten weitere Beispiele von Untergruppen auf.
Die Bestimmung der Untergruppen vom Lie-Typ für die Chevalley-Gruppen vom Typ F₄ über einem beliebigen Körper ist Gegenstand meiner Habilitationsschrift. Zu Zeit arbeite ich an den Einbettungen in die größeren Chevalley-Gruppen vom Typ E₆, E₇ oder E₈.
Ziel ist es jeweils zu bestimmen, welche Untergruppen vom Lie-Typ schon in einer echten Untersystem-Gruppe auftreten. Für diese ist dann das Problem auf Untergruppen klassischer Gruppen oder kleinerer Gruppen vom Ausnahmetyp reduziert. Über beliebigen Körpern gibt es vielfältige Beispiele, bei denen eine solche Reduktion nicht möglich ist, insbesondere wenn man auch Untergruppen vom Rang 2 zuläßt (welche von Moufang-Vierecken oder -Sechsecken herkommen).
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Getwistete Varianten von Chevalley-Gruppen
Die 'gewöhnlichen' getwisteten Chevalley-Gruppen sind Fixpunktgruppen geeigneter Automorphismen. Ich strebe an, auch die einfachen algebraischen Gruppen von relativem Rang mindestens 2 (klassifiziert durch J. Tits) auf diese Weise explizit als Untergruppen von Chevalley-Gruppen zu beschreiben. Dies verallgemeinert die Konstruktion von unitären Gruppen aus linearen Gruppen.
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Einbettungen von polaren Räumen und verallgemeinerten Vierecken in projektive Räume
Die Geometrie der ein- und zweidimensionalen Unterräume eines Vektorraums, auf denen eine Form verschwindet, bildet einen klassischen polaren Raum. Ich konnte zeigen, daß im allgemeinen eine Einbettung (weak embedding) eines solchen polaren Raumes von einer semi-linearen Abbildung induziert wird. Dieser 'Fundamentalsatz für polare Räume' verallgemeinert das entsprechende Ergebnis der projektiven Geometrie.
Zusammen mit Hendrik Van Maldeghem (hvm@cage.rug.ac.be) konnte ich die eingebetteten verallgemeinerten Vierecke klassifizieren und damit die Einbettungen von polaren Räumen vollständig behandeln.
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Einbettungen von verallgemeinerten Sechsecken in projektive Räume
Zusammen mit Hans Cuypers (hansc@win.tue.nl) bestimmte ich die sogenannten regulären Einbettungen der Sechsecke vom Typ G₂. Die Behandlung des allgemeinen Falls erfolgte zusammen mit Hendrik Van Maldeghem (hvm@cage.rug.ac.be).
Ein verallgemeinertes Sechseck läßt genau dann eine reguläre Einbettung in P(V) zu, falls die Moufang-Bedingung erfüllt und seine zugehörige Automorphismengruppe von GL(V) induziert wird, wobei V = [V,G] und [V,A] 2-dimensional mit [[V,A],A] = 0, für jede lange Wurzeluntergruppe A.
Mit der Klassifikation der Moufang-Sechsecke von Tits und Weiss, konnten wir die regulären Einbettungen vollständig bestimmen: Für die Sechsecke vom Typ G₂ und ³D₄, ⁶D₄, gibt es nur die natürlichen Einbettungen (in den orthogonalen oder symplektiscen Raum). Jedoch für die sogenannten gemischten Sechsecke haben wir mehrere neue Einbettungen (in beliebiger Dimension gefunden), welche alle Quotienten einer universellen Einbettung sind.
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Near hexagons und Trialität
Ziel ist es, eine geometrische Charakterisierung von verallgemeinerten Sechsecken und near hexagons zu geben, welche eine natürliche Einbettung in einen polaren Raum vom Typ D₄ zulassen und zur Trialität in Beziehung stehen. (Zusammenarbeit mit Hans Cuypers (hansc@win.tue.nl))
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Extremale Elemente in Lie-Algebren
Zusammen mit A. M. Cohen, R. Ushirobira und D. B. Wales habe ich Lie-Algebren untersucht, die von endlich vielen sogenannten extremalen Elementen erzeugt werden (also von Elementen, die innere Ideale aufspannen). Wir haben gezeigt, daß jede solche Lie-Algebra endlich dimensional ist und die minimale Anzahl der extremalen Erzeugenden für die Lie-Algebren vom Chevalley-Typ bestimmt.
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Computergestützte Realisierung von Gruppen mit einem Tits-Diagramm
Ziel ist es, die unipotenten Gruppen der Gruppen zu einem Moufang-Viereck vom Ausnahme-Typ konkret als Untergruppe der entsprechenden Chevalley-Gruppe zu realisieren.
Hierzu wird das Programm 'unipot' von Sergei Haller (sergei.haller@btexx.de) eingesetzt. Dieses Programm ermöglicht symbolisches Rechnen in der unipoteten Gruppe von Chevalley-Gruppen und ist als Deposited Shared Package in GAP beigefügt.
Mit 'unipot' war es bereits möglich, die Kommutatorrelationen von J. Tits und R. Weiss für die E₆-Vierecke symbolisch zu verifizieren, nachdem man Kandidaten für die Wurzelelemente gefunden hatte.
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