In der Vorlesung werden Anwendungen von algebraischen Strukturen in verschiedenen Gebieten aufgezeigt, wie z. B.

• Abzählen von symmetrischen Strukturen, die Abzähltheorie nach Pólya, wesentlich verschiedene Schaltfunktionen
• Modulares Rechnen, Anwendungen des Euklidischen Algorithmus und des Chinesischen Restsatzes, schnelles Rechnen in Z durch Parallelisieren
• Schnelle Fourier-Transformation
• Faktorisieren von Polynomen
• Graphen (Färben, Sortieren)

Der Schwerpunkt der Vorlesung liegt bewusst nicht auf Anwendungen der Algebra in der Codierungstheorie oder der Kryptographie.

Übungsaufgaben werden in die Vorlesung integriert.

Kenntnisse, wie sie im Rahmen einer Vorlesung Algebra A vermittelt werden, sind wünschenswert.

Literatur:

• Biggs, Norman L.: Discrete mathematics. Revised edition. Oxford Science Publications. Clarendon Press (1989).
• Birkhoff, G.; Bartee, T.C.: Modern applied algebra. McGraw-Hill Book Company (1970).
• Dornhoff, Larry L.; Hohn, Franz E.: Applied modern algebra. Macmillan Publishing Co. (1978).
• Geddes, Keith O.; Czapor, Stephen R.; Labahn, George: Algorithms for computer algebra. Kluwer Academic Publishers Group (1992).
• Lidl, Rudolf; Pilz, Günter: Applied abstract algebra. 2nd ed. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. (1998).

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Ist es möglich, die Anzahl der Elemente einer durch gegebene Permutationen erzeugten Gruppe G zu bestimmen? Kann man für jede Permutation entscheiden, ob sie in G enthalten ist? Im Seminar werden zunächst solche Fragen für Permutationsgruppen behandelt.

Weiteres Thema ist der Todd-Coxeter-Algorithmus: eine direkte Methode, die Anzahl der Nebenklassen einer Untergruppe zu zählen.

Nicht alle gruppentheoretische Fragestellungen sind jedoch algorithmisch lösbar. Ein Beispiel hierfür ist das sogenannte Wortproblem: In einer durch Erzeugende und Relationen gegebenen Gruppe kann man im allgemeinen nicht entscheiden, ob ein Produkt der Erzeuger das Einselement ist.

Voraussetzung zur Teilnahme sind Kenntnisse, wie sie im Rahmen einer Vorlesung Algebra A vermittelt werden.

Interessenten werden gebeten, sich ab der ersten Vorlesungswoche zu melden. Kontakt

Literatur:

• Butler, Greg: Fundamental algorithms for permutation groups. Lecture Notes in Computer Science, 559. Springer (1991).
• Cohen, Arjeh M.; Cuypers, Hans ; Sterk, Hans (eds.): Some tapas of computer algebra. Algorithms and Computation in Mathematics, 4. Springer (1999).
• Cohen, Daniel E.: Combinatorial group theory: a topological approach. London Mathematical Society Student Texts, 14. Cambridge University Press (1989).

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Alle Permutationen (Vertauschungen) der Ziffern 1, 2, 3, ..., n bilden eine Gruppe, die sogenannte symmetrische Gruppe. Ihre Untergruppen werden als Permutationsgruppen bezeichnet. Im 19. Jahrhundert wurde der Begriff 'Gruppe' generell als 'Permutationsgruppe' verstanden.
Erste Beispiele sind die Symmetriegruppen von regelmäßigen Figuren wie Quadrat und Würfel. Die Permutationsgruppen stehen in enger Wechselwirkung mit geometrischen und kombinatorischen Strukturen.

Die Vorlesung soll in die Theorie der Permutationsgruppen einführen, insbesondere anhand vieler konkreter Beispiele. Übungsaufgaben können in die Vorlesung integriert werden.
Voraussetzung für den Besuch der Veranstaltung sind Kenntnisse über Gruppen, wie sie etwa im Rahmen der Vorlesungen 'Lineare Algebra I + II' vermittelt werden.

Literatur:

• Artin, M.: Algebra. Birkhäuser (1998).
• Biggs, N.L.; White, A.T.: Permutation Groups and Combinatorial Structures. London Mathematical Society Lecture Note Series. 33. Cambridge University Press (1979).
• Fraleigh, J.B.: A First Course in Abstract Algebra - 6th ed. Addison Wesley (1999).
• Humphreys, J.F.: A Course in Group Theory. Oxford University Press (1996).

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Die Gruppe aller Permutationen von n Ziffern wird als symmetrische Gruppe vom Grad n bezeichnet. Ihre Untergruppen sind die sogenannten Permutationsgruppen. Im 19. Jahrhundert wurde der Begriff 'Gruppe' generell als 'Permutationsgruppe' verstanden.
In der Vorlesung werden die Permutationsgruppen in ihrer Wechselwirkung mit geometrischen und kombinatorischen Strukturen behandelt.

Literatur:

• Biggs, N.L.; White, A.T.: Permutation groups and combinatorial structures. London Mathematical Society Lecture Note Series. 33. Cambridge University Press (1979).
  
• Cameron, P.: Permutation groups. London Mathematical Society Student Texts. 45. Cambridge University Press (1999).
  
• Dixon, J.; Mortimer, B.: Permutation groups. Graduate texts in mathematics. 163. Springer (1996)
  

Auch Einführungen in die Gruppentheorie behandeln meist die grundlegenden Ergebnisse über Permutationsgruppen.

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Die Vorlesung schließt an die Vorlesung über Chevalley-Gruppen im WS 2000/2001 an.
Die Chevalley-Gruppen der Typen C_n, B_n, F₄ und G₂ sollen als Fixpunktgruppen in Chevalley-Gruppen der Typen A, D und E konstruiert werden. Weiter werden getwistete Varianten behandelt. Für die klassischen Fälle werden die Gruppen auch als klassische Gruppen auf einem Vektorraum mit Form betrachtet.

Literatur:

• N. Bourbaki: Groupes et algebres de Lie. Chapitres IV, V et VI. Hermann, Paris (1968).
  
• R. W. Carter: Simple groups of Lie type. John Wiley & Sons, London (1972).
  
• J. E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag (1972).
  
• T. Springer: Linear Algebraic groups. 2nd edition. Birkhäuser, Basel (1998).
  
• R. Steinberg: Lectures on Chevalley groups. Yale University Lecture Notes (1967).
  
• F. G. Timmesfeld: Abstract root subgroups and simple groups of Lie-type. Erscheint bei Birkhäuser.

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Die Vorlesung gibt eine Einführung in die Theorie der Chevalley-Gruppen.
Die adjungierten Chevalley-Gruppen der Typen A, D und E sollen als Automorphismengruppen von Lie-Algebren konstruiert werden.

Kenntnisse über Wurzelsysteme und die zugehürigen Spiegelungsgruppen werden vorausgesetzt.

Literatur:

• N. Bourbaki: Groupes et algebres de Lie. Chapitres IV, V et VI. Hermann, Paris (1968).
  
• R. W. Carter: Simple groups of Lie type. John Wiley & Sons, London (1972).
  
• J. E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag (1972).
  
• T. Springer: Linear Algebraic groups. 2nd edition. Birkhäuser, Basel (1998).
  
• R. Steinberg: Lectures on Chevalley groups. Yale University Lecture Notes (1967).
  
• F. G. Timmesfeld: Abstract root subgroups and simple groups of Lie-type. Erscheint bei Birkhäuser.

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Die Vorlesung schließt an die Veranstaltung im Wintersemester 1999/2000 an. Die folgenden klassischen Gruppen werden als bekannt vorausgesetzt:

• die speziellen linearen Gruppen SL(V), erzeugt von den Transvektionen,
  
• die symplektischen und unitären Gruppen T(V,f) erzeugt von den isotropen Transvektionen,
  
• die orthogonalen Gruppen W(V,q), erzeugt von den Siegel-Transvektionen.

Im Sommersemster werden zunächst folgende Themen behandelt:

• Definition der klassischen Gruppen zu pseudo-quadratischen Formen im Sinne von J. Tits und Beweis der Quasi-Einfachheit,
  
• Beschreibung von isotropen Transvektionen und Siegel-Transvektionen als zentrale bzw. axiale Elationen in polaren Räumen,
  
• Isomorphismen zwischen klassischen Gruppen, Klein-Korrespondenz.
  

Darüber hinaus bieten sich Aspekte aus den folgenden Themenkreisen an:

• Untergruppen von klassischen Gruppen, die von (Siegel-)Transvektionen erzeugt werden,
  
• Einbettungen von polaren Räumen (und verallgemeinerten Vierecken) in projektive Räume.

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Thema der Vorlesung sind Gruppen, deren Elemente lineare Abbildungen sind.

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und f: V x V -> K eine Form (z. B. eine symmetrische Bilinearform). Diejenigen linearen Abbildungen g: V -> V, die die Form f auf V respektieren (d.h. für die gilt f(g(v), g(w)) = f(v,w) für alle v,w in V), bilden eine Gruppe; eine sogenannte klassische Gruppe (wie z. B. die orthogonale Gruppe des Rⁿ mit dem Standardskalarprodukt).

Man unterscheidet verschiedene Typen von klassischen Gruppen, die durch den Typ der Form f festgelegt sind; es handelt sich um

• orthogonale Gruppen, wenn f eine symmetrische Bilinearform (oder allgemeiner eine quadratische Form) ist,
  
• unitäre Gruppen, wenn f eine hermitesche Form ist,
  
• symplektische Gruppen, wenn f eine Bilinearform ist mit f(v,v) = 0 für alle v in V.

In der Vorlesung werden Eigenschaften der klassischen Gruppen und der zugehörigen Vektorräume mit Form untersucht (unter der Voraussetzung, daß es Vektoren 0 ungleich v in V mit f(v,v) = 0 gibt). Hierbei werden Aspekte hervorgehoben, die für alle Typen gelten, z. B.

• die Frage nach einer geometrischen Beschreibung der klassischen Gruppen (dies führt zu den polaren Räumen),
• die Frage nach erzeugenden Elementen der klassischen Gruppen (dies führt zu den isotropen Transvektionen),
• die Frage nach der Struktur der klassischen Gruppen (dies führt zum Nachweis der Quasi-Einfachheit).

Die Kenntnis der Vorlesungen 'Lineare Algebra I, II' ist für den Besuch der Vorlesung ausreichend.

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